正規分布は連続型の確率分布(=確率密度関数)の1つで、世の中の多くの分布が正規分布に従うといわれている。
平均\(μ\)、分散\(σ^2\)の正規分布に従う確率変数\(X\)の確率密度関数\(f(x)\)は、以下の式で表せる。
出所：統計WEB_正規分布
例えば、平均\(μ=0\)、分散\(σ^2=1\)の正規分布(=標準正規分布)のグラフを描いた場合の、ソースコードと実行結果は、以下のようになる。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 | %matplotlib inline import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 正規分布の計算 # 引数のaveは平均、stdは標準偏差を表す def normal_distribution(x, ave, std): p = np.power(np.e, -((x - ave)** 2) / (2 * (std**2))) ret = 1 / (np.sqrt(2 * np.pi) * std) * p return ret # -5～5までを100等分した値をxとする x = np.linspace(-5, 5, 100) # 平均=0, 標準偏差=1の場合のグラフを描画 y = normal_distribution(x, 0, 1) plt.plot(x, y) plt.title("normal distribution graph") plt.xlabel("x", size=14) plt.ylabel("y", size=14) plt.grid() plt.show() |
また、平均または標準偏差を変更しながら、正規分布のグラフを描いた場合の、ソースコードと実行結果は、以下のようになる。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 | %matplotlib inline import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 正規分布の計算 # 引数のaveは平均、stdは標準偏差を表す def normal_distribution(x, ave, std): p = np.power(np.e, -((x - ave)** 2) / (2 * (std**2))) ret = 1 / (np.sqrt(2 * np.pi) * std) * p return ret # 標準偏差を固定し、平均を移動させた場合のグラフ # ①平均=-1, 標準偏差=1の場合 # ②平均=0, 標準偏差=1の場合 # ③平均=1, 標準偏差=1の場合 それぞれのグラフを描画 x1 = np.linspace(-5, 5, 100) y1_1 = normal_distribution(x1, -1, 1) y1_2 = normal_distribution(x1, 0, 1) y1_3 = normal_distribution(x1, 1, 1) plt.plot(x1, y1_1, label="ave=-1, std=1") plt.plot(x1, y1_2, label="ave=0, std=1") plt.plot(x1, y1_3, label="ave=1, std=1") plt.title("normal distribution graph") plt.xlabel("x1", size=14) plt.ylabel("y1", size=14) plt.legend() plt.grid() plt.show() # 平均を固定し、標準偏差を移動させた場合のグラフ # ①平均=0, 標準偏差=0.5の場合 # ②平均=0, 標準偏差=1の場合 # ③平均=0, 標準偏差=2の場合 それぞれのグラフを描画 x2 = np.linspace(-5, 5, 100) y2_1 = normal_distribution(x2, 0, 0.5) y2_2 = normal_distribution(x2, 0, 1) y2_3 = normal_distribution(x2, 0, 2) plt.plot(x2, y2_1, label="ave=0, std=0.5") plt.plot(x2, y2_2, label="ave=0, std=1") plt.plot(x2, y2_3, label="ave=0, std=2") plt.title("normal distribution graph") plt.xlabel("x2", size=14) plt.ylabel("y2", size=14) plt.legend() plt.grid() plt.show() |
「DesignEvo」は多くのテンプレートからロゴを簡単に作成できるツールだった多くのテンプレートが用意されていてロゴを簡単に作成できるツールの一つに、「DesignEvo」があります。今回は、「DesignEvo」...
さらに、平均\(μ=0\)、分散\(σ^2=1\)の正規分布(=標準正規分布)のグラフに、\(-σ\)～\(+σ\)の範囲(全体の約\(68.3\)%)を色付けすると、以下のようになる。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 | %matplotlib inline import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 正規分布の計算 # 引数のaveは平均、stdは標準偏差を表す def normal_distribution(x, ave, std): p = np.power(np.e, -((x - ave)** 2) / (2 * (std**2))) ret = 1 / (np.sqrt(2 * np.pi) * std) * p return ret # -5～5までを100等分した値をxとする x = np.linspace(-5, 5, 100) # 平均=0, 標準偏差=1の場合のグラフを描画 y = normal_distribution(x, 0, 1) plt.plot(x, y) plt.title("normal distribution graph") plt.xlabel("x", size=14) plt.ylabel("y", size=14) # x=-1(-std), x=1(std)のグラフを点線で表示 plt.axvline(x=-1, linestyle="dashed") plt.axvline(x=1, linestyle="dashed") plt.xticks([-4,-2,-1,0,1,2,4]) # x=-1～1までの範囲を塗りつぶし、グラフに描画 x1 = np.linspace(-1, 1, 100) y1 = normal_distribution(x1, 0, 1) plt.fill_between(x1, y1, fc="lightblue") plt.grid() plt.show() |
また、平均\(μ=0\)、分散\(σ^2=1\)の正規分布(=標準正規分布)のグラフに、\(-2σ\)～\(+2σ\)の範囲(全体の約\(95.4\)%)を色付けすると、以下のようになる。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 | %matplotlib inline import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 正規分布の計算 # 引数のaveは平均、stdは標準偏差を表す def normal_distribution(x, ave, std): p = np.power(np.e, -((x - ave)** 2) / (2 * (std**2))) ret = 1 / (np.sqrt(2 * np.pi) * std) * p return ret # -5～5までを100等分した値をxとする x = np.linspace(-5, 5, 100) # 平均=0, 標準偏差=1の場合のグラフを描画 y = normal_distribution(x, 0, 1) plt.plot(x, y) plt.title("normal distribution graph") plt.xlabel("x", size=14) plt.ylabel("y", size=14) # x=-2(-2*std), x=2(2*std)のグラフを点線で表示 plt.axvline(x=-2, linestyle="dashed") plt.axvline(x=2, linestyle="dashed") # x=-2～2までの範囲を塗りつぶし、グラフに描画 x1 = np.linspace(-2, 2, 100) y1 = normal_distribution(x1, 0, 1) plt.fill_between(x1, y1, fc="lightblue") plt.grid() plt.show() |
ちなみに、上記で色づけした部分の面積の割合は、以下のサイトのような、標準正規分布表から確認できる。
https://www.coronasha.co.jp/np/data/docs1/978-4-339-06128-4_2.pdf
上記の標準正規分布表より、\(-σ\)～\(+σ\)の範囲となる確率は、\(z=1.0\)の場合の面積が\(0.3413\)なので、\(0.3413 \times 2\ = 0.6826 ≒ 0.683 = 68.3%\)となり、\(-2σ\)～\(+2σ\)の範囲となる確率は、\(z=2.0\)の場合の面積が\(0.4772\)なので、\(0.4772 \times 2\ = 0.9544 ≒ 0.954 = 95.4%\)となる。
ちなみに、この性質は、平均や分散・標準偏差の値とは関係なく、全ての正規分布のグラフに当てはまる。
要点まとめ
- 正規分布は連続型の確率分布(=確率密度関数)の1つで、世の中の多くの分布が正規分布に従うといわれている。
- 平均\(μ\)、分散\(σ^2\)の正規分布に従う確率変数\(X\)の確率密度関数\(f(x)\)は、以下の式で表せる。
\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{-\frac{{(x-μ)}^2}{2σ^2}} (-\infty \lt x \lt \infty)
\] - 平均\(μ=0\)、分散\(σ^2\)の正規分布では、\(-σ\)～\(+σ\)の範囲に全体の約\(68.3\)%のデータが、
\(-2σ\)～\(+2σ\)の範囲に全体の約\(95.4\)%のデータが、それぞれ当てはまる。
